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缓存

为什么转置一个512x512的矩阵，会比513x513的矩阵慢很多？

谨以此文，纪念刚退休的Professor Sibert以及Professor Goel。你们尽管已年过70， 却还仍然坚持在教导学生，实在令人钦佩。我今天所拥有的编程知识，经验，技巧， 很大一部分是从你们那儿学来的。谢谢你们。

问题的出处：http://stackoverflow.com/questions/11413855/why-is-transposing-a-matrix-of-512x512-much-slower-than-transposing-a-matrix-of

事情的起因是这样的，先看下面这段代码： 

define SAMPLES 1000
#define MATSIZE 512
 
#include <time.h>
#include <iostream>
int mat[MATSIZE][MATSIZE];
 
void transpose()
{
   for ( int i = 0 ; i < MATSIZE ; i++ )
   for ( int j = 0 ; j < MATSIZE ; j++ )
   {
       int aux = mat[i][j];
       mat[i][j] = mat[j][i];
       mat[j][i] = aux;
   }
}
 
int main()
{
   //initialize matrix
   for ( int i = 0 ; i < MATSIZE ; i++ )
   for ( int j = 0 ; j < MATSIZE ; j++ )
       mat[i][j] = i+j;
 
   int t = clock();
   for ( int i = 0 ; i < SAMPLES ; i++ )
       transpose();
   int elapsed = clock() - t;
 
   std::cout << "Average for a matrix of " << MATSIZE << ": " << elapsed / SAMPLES;

很普通的一个求矩阵转置的程序。但是，当MATSIZE取512和513的时候，出现了非常有意思 的结果：

  • 512 平均 2.19ms
  • 513 平均 0.57ms

很让人惊讶吧，513竟然比512快。更进一步的研究发现，size=512的时候，运算速度会比 同数量级的其它数字慢很多很多。这是怎么一回事呢？

stackoverflow上大牛给的解答非常正确，但是这次，我不想做翻译了。我从Professor Sibert那里，从Professor Goel那里，学到的知识，足够帮我解决这个问题了，我不是 一个人。下面是我的解答：

很容易就联想到，造成这个问题的原因是CPU cache，我们有很多种方式来存储cache， 具体可以参考这里。

原作者没有给出他的CPU型号，但是如今的pc几乎都是采用的set associative的cache结构 ，下面我用2-way set associate来做例子，讲解一下cache的工作原理。

内存地址布局： 

|63                                              14|13       4|32|10|
+--------------------------------------------------+----------+--+--+
|                       Tag                        | Block Idx|wd|by|
+--------------------------------------------------+----------+--+--+
|<-------------------50 bits---------------------->|  10 bits |2b|2b|
|<-------------------block address--------------------------->|  |  |

缓存布局： 

  blk  |V|<-----Tag----->|<------------------Block------------------>|
-------+-+---------------+-------------------------------------------+---------
     0 | |               |  word 0  |  word 1  |  word 2  |  word 3  |
-------+-+---------------+-------------------------------------------+ cache set
     1 | |               |          |          |          |          |
-------+-+---------------+-------------------------------------------+---------
     .                                  ...                            
     .                                  ...                            
     .                                  ...                            
-------+-+---------------+-------------------------------------------+---------
  2046 | |               |          |          |          |          |
-------+-+---------------+-------------------------------------------+ cache set
  2047 | |               |          |          |          |          |
-------+-+---------------+-------------------------------------------+---------
       |1|<----50------->|<----------128 bits (60 bytes)------------>|

（图片取自Professor Sibert的讲义，这可是纯ascii画的哦= =）

一个内存地址，可以划分为block，tag，word，byte 4个部分。 10bits的block，对应了1024个cache set，内存地址的block固定了，就必须存储在相应的 set里面，这样可以把查询cache的事件从O(n)缩短为O(1)。

举个例子：

block是1023（0x11 1111 1111），你的数据就放在第1023个set里面。可能有人会觉得 奇怪，为什么block不是取的最前面的10bits，这当然是有道理的，通常在内存里数据都是 连续存放的，就是说，同一段程序用的数据，他们前10位几乎都是一样的，如果用前10位 来定位block，那么collision的发生率非常高，cache效率非常低下，所以才选了后面的 10位来定位block。

当然，每个set里面有多条记录，2-way是2条，你得遍历这两条记录，比较前面50位的tag ，如果tag一样，并且Valid bit(V)=1，那么恭喜你，你的数据在cache里面，接着就 可以通过word和byte来取数据了。

如果遍历完这两条记录，还是没有找到tag的话，那么很遗憾，你的数据不在cache里， 得从内存里读。从内存里获取相应的数据，然后把它存到对应的cache set里，如果set里 有空位的话最好，如果没有的话，用LRU来替换。因为一个set里只有2条数据，所以实现 LRU仅仅需要一个额外bit就可以了，非常高效。

LRU方法

好了，背景知识介绍的差不多了，让我们回到这个问题上来。为什么512大小的矩阵， 会比其它数字慢那么多？

让我们来计算一下：

512×512的int矩阵，在内存里是连续存放的。每个cache line是16bytes，对应4个int， 所以一个n阶矩阵的row可以填充n/4个cache set。

假设第一个数据a[0][0]正好对应cache set 0，那么其中每一个数据a[i][j]对应的 cache set是\((512i+j)/4%1024=(128i+j/4)%1024\)。可以看到，前面的系数正好可以整除 。很不巧的是，在进行矩阵转置的运算时，在第2个for循环中，我们需要依次访问每一个 row中对应i的值。这样会造成下面的结果，假设i=0： 

set(a[0][0])=0
set(a[1][0])=128
set(a[2][0])=256
// ...
set(a[7][0])=896

set(a[0][0])=0
//后面开始重复了
// ...

到a[15][0]的时候刚好填完整个cache的所有128整数倍的set。

当读取a[16][0]的时候，将会发生replace，把a[0][0]从cache里移除。这样，当源 程序的i=1时，将完全重复i=0的计算过程，每次取数据都需要先从memory读到cache中 来，cache的作用完全没有体现。

而当size=513的时候，事情就不一样了，sat[i][j]对应的cache set是 \((513i+j)/4%1024\)，前面的系数除不尽了，每递增4次结果会比size=512时偏差1。

例如： 

set(a[0][0])=0
set(a[1][0])=128
set(a[2][0])=256
set(a[3][0])=384
set(a[4][0])=513
// ...

这样就很微妙的把cache set给错开了。a[16][0]不在第0行而是第4行，不会覆盖之前的 数据。即使将全部的a[0-15][i]都读入cache，也不会发生碰撞。

之后，由于一个cache有4个word，a[0-15][i+1]，a[0-15][i+2]，a[0-15][i+3]也 同时被读进cache里了，所以计算i+1,i+2,i+3时，仅仅需要读对应行的数据就 可以了，同一行的数据都是连续的，所以碰撞率很低。这个计算过程很好的利用了cache， 如果不考虑其他因素（实际上，这个已经是影响运行时间的最大因素了），理论上我们 可以节省75%的运行时间，可以看到，这个理论预测是和提问者给的数据相符合的。

总之，当你的data size是128的整数倍的时候，得特别小心，搞不好cache collision就把 你的程序给拖慢了呢

Update 1: 原代码有逻辑错误，这点大家都不要吐槽了，代码不是我写的= =

Update 2：帅哥问我，为什么可以加速这么多。这个循环包括4次读cache的操作，2次写cache的操作，以及0-2次replace操作。每次replace操作会有一次memory read，有可能会有memory write（假设它是write back）。前面的读写cache时间和读写内存相比，几乎可以忽略，对效率产生显著影响的是后面的内存读写。如果cache的hit率高了，那么内存读写的次数就少了，程序运行时间是会产生很大影响的

Update 3：当然，具体效果还视乎CPU架构而定，我自己试验的只有节省25%左右时间

Update 4: 有人提出了用划分矩阵（把大矩阵分成若干个小矩阵分别计算）的方法来求转置。划分矩阵可以解决类似的问题（譬如说求两个矩阵乘积），但是对解决这个问题没有任何帮助。因为求转置的时候，每个数据只用到了一次，没有重复访问；即便划分成更小的矩阵，在cache里面的位置也没有发生改变。

Update 5: 据说，Professor Goel只是因病休息几个学期，没有退休。。。（原来你还要回来教课！！！）

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