空间中的点、线、平面
空间中的平面
定义
空间中平面的定义：无厚度，可无限延伸。
基本概念
点与直线
- 点\(A\)在直线\(a\)上，记作：\(A \in a\)
- 点\(A\)在直线\(a\)外，记作：\(A \notin a\)
点与面的关系
- 点\(A\)在平面\(\alpha\)内，记作：\(A \in \alpha\)
- 点\(A\)在平面\(\alpha\)外，记作：\(A \notin \alpha\)
线与面的关系
- 直线\(l\)在平面\(\alpha\)内，记作：\(l \subset \alpha\)
-
直线\(l\)不在平面\(\alpha\)内，有两种情况：
- 它们有一个共同点\(A\)，记作：\(l \cap \alpha = A\)
- 它们没有共同点，记作：\(l \cap \alpha = \phi\)
线与线的关系
线\(m\)与线\(n\)交于点\(A\)，记作：\(m \cap n = A\)
面与面的关系
平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)交于直线\(l\)，记作：\(\alpha \cap \beta = l\)
平面基本性质
判定直线属于平面
如果直线\(l\)中有两点\(A\)和\(B\)在平面\(\alpha\)内，则直线\(l\)在平面\(\alpha\)内，记作：
\[ \begin{array}{r} A \in \alpha , B \in \alpha \\ A \in l , B \in l \end{array} \Bigg \} \Rightarrow l \subset \alpha \]三个点判定两平面重合
\(A\)、\(B\)、\(C\)三点不在同一个直线上，而且都属于\(\alpha\)与\(\beta\)两个平面， 则\(\alpha\)与\(\beta\)两个平面重合：
\[ \begin{array}{r} ABC\text{不共线} \\ ABC \in \alpha \\ ABC \in \beta \end{array} \Bigg \} \Rightarrow \alpha \beta \text{重合} \]两个平面重合
点\(A\)同时属于\(\alpha\)与\(\beta\)两个平面，则\(\alpha \cap \beta = l\)，而且 \(A \in l\)，而且\(l\)是唯一一条两个平面的交界线。
空间中直线与直线的关系
- 平行
- 相交
- 异面：两条线不共处于任何一个平面中。
异面直线的角：两个异面直线\(a\)和\(b\)，过空间中任意一点\(C\)作出两条直线 \(a' \parallel a\)与\(b' \parallel b\)，则\(a'\)与\(b'\)形成的锐角或直角\(\theta\) 被称为异面直线的角。范围：\(\theta \in (0^\circ, 90^\circ]\)
实际工作中一般不会在空间中任意取一点，而是在\(a\)或\(b\)的端点可是中点中找一点作为 \(C\)。
基本性质
\[ \begin{array}{r} a \parallel b \\ b \parallel c \end{array} \Bigg \} \Rightarrow a \parallel c \]直线与平面的位置关系
- 平行：没有公共点。
- 相交
- 直线在平面内。
直线与平面平行
直线与平面平行的判定
平面外的直线平行于平面内的直线：
\[ \begin{array}{r} l \not \subset \alpha \\ m \subset \alpha \\ l \parallel m \\ \end{array} \Bigg \} \Rightarrow l \parallel \alpha \]直线与平面平行的性质
\[ \begin{array}{r} l \parallel \alpha \\ l \in \beta \\ \alpha \cap \beta = m \end{array} \Bigg \} \Rightarrow l \parallel m \]直线与平面垂直
定义：直线\(l\)与平面\(\alpha\)相交，并且与平面上所有的直线都垂直。记作： \(l \perp \alpha\)
平面是直线的垂面；直线是平面的垂线；交点是垂足。
直线与平面垂直的判定
垂直于平面内两条相交的直线。
直线与平面垂直的性质
- 两条直线垂直于同一平面，这两条线必相互平行：
- 过平面外的一点，只能有一条垂线。
平面与平面的位置关系
- 平行
- 相交：有一条公共直线\(l\)（或用两点表示直线为\(AB\)）。\(l\)称为棱， 形成的二面角记为：\(\alpha - l - \beta\)或\(\alpha - AB - \beta\)
平面与平面平行
平面与平面平平等的判定
平面内相互的两条直线与另一平面平行，则两平面平行。数学表达为：
\[ \begin{array}{r} l \subset \alpha, m \subset \alpha \\ l \cap m = A \\ l \parallel \beta, m \parallel \beta \end{array} \Bigg \} \Rightarrow \alpha \parallel \beta \]平面与平面平等的性质
\[ \begin{array}{r} \alpha \parallel \beta \\ \gamma \cap \alpha = l \\ \gamma \cap \beta = m \end{array} \Bigg \} \Rightarrow l \parallel m \]平面与平面垂直
过二面角的棱上的一点分别在两个平面上做垂线所形成的角是「二面角的平面角」，记作： \(\theta \in [0^\circ, 180^\circ]\)
当\(\theta = 90^\circ\)时，两个平面垂直。