直线
直线与斜率
直线的倾斜角：
- 直线\(l\)在\(x\)轴上方的部分与\(x\)轴形成的夹角。记为「\(\alpha\)」。
- 范围：\(0^\circ \le \alpha \lt 180^\circ\)
斜率
当直线\(l\)上有两个点，分别为\(P_1(x_1,y_1)\)和\(P_2(x_2,y_2)\)， 当\(x_1 \ne x_2\)（即直线不与\(x\)轴垂直）时，直线\(l\)的斜率记为\(k\)：
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]- 当\(\alpha \neq \frac{\pi}{2}\)，斜率\(k = \tan \alpha\)。
- 当\(\alpha \in [0, \frac{\pi}{2})\)，斜率\(k \ge 0\)。
- 当\(\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)\)，斜率\(k \lt 0\)。
- 当\(\alpha = \frac{\pi}{2}\)，斜率\(k\)不存在，但直线是存在的。
直线平行与相交
当不重合的两条直线\(l_1, l_2\)的斜率分别为\(k_1, k_2\)，且\(k_1k_2 \ne 0\)，则：
- \(l_1 \parallel l_2 \Longleftrightarrow k_1 = k_2\)
- \(l_1 \perp l_2 \Longleftrightarrow k_1 \times k_2 = -1\)
- 对于直线\(Ax + By + C = 0\)平行的直线，都可以写成\(Ax + By + C_1 = 0\)的形式，其中\(C_1\)为参数。
- 对于直线\(Ax + By + C = 0\)垂直的直线，都可以写成\(Bx - Ay + C_1 = 0\)的形式，其中\(C_1\)为参数。
- 两条直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0 , l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)相交， 所有过它们交点的直线（不包括\(l_2\)）都可以描述为： \(A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0\)，其中\(\lambda\)为参数。
直线方程的表示方式
点斜式
已知直线经过点\((a, b)\)，且斜率为\(k\)：
\[ \begin{split} y-b &= k(x-a) \\ y &= k(x-a)+b \end{split} \]注意：
- 不能表示斜率不存在的直线。
斜截式
点斜式的特殊情况，已经知经过\(y\)轴上的点\((0, b)\)（即直线在在\(y\)轴上的截距为\(b\)） ：
\[ \begin{split} y-b &= kx \\ y &= kx + b \end{split} \]注意：
- 不能表示斜率不存在的直线。
两点式
两点\((a_0, b_0), (a_1, b_1)\)确定一条直线：
\[ \frac{y - b_0}{b_1 - b_0} = \frac{x - a_0}{a_1 - a_0} \quad (a_0 \ne a_1 \cap b_0 \ne b_1) \]注意：
- 不能表示斜率不存在的直线。
- 不能表示斜率为\(0\)的直线。
截距式
与\(x\)轴与\(y\)轴分别相交于\((a,0),(0,b)\)（即在\(x\)轴与\(y\)轴上的截距分别为\(a,b\)）：
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad (ab \ne 0) \]注意：
- 不能表示斜率不存在的直线。
- 不能表示斜率为\(0\)的直线。
- 不能表示过原点的直线。
一般式
\[ Ax + By + C = 0 \quad A,B\text{不同时为}0 \]直线的交点坐标与距离公式
求交点坐标就是求两个直线方程的联立解。如果有无数个解，说明两条线是重合的。
求点\(p(x_0, y_0)\)到直线\(Ax + By + C = 0\)的距离\(d\)：
\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]两条平等直线\(l_1:Ax + By + C_1 = 0\)与\(l_2:Ax + By + C_2 = 0\)的距离\(d\)：
\[ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]