概率基础

计数

计数时要避免「遗漏」与「重复」。

不要忘记\(0\)

植树问题：

• 10米长的街道，每隔1米种一棵树，需要种多少树？
• \(10 \div 1 = 10\)，但是不要忘记起点0也要种一棵，所以\(10 \div 1 + 1 = 11\)

加法法则

没有「重复」元素的两个集合可以相加。例如， 扑克牌里10张红桃数字牌A-10与3张红桃花色版J、K、Q是没有重复的，所以一共13张 红桃牌。

\[ | A \cup B | = | A | + | B | \]

容斥原理

容斥原理（The Principle of Inclusion and Exclusion），即必须弄清楚 「重复的元素有多少」。

如果有重复，就不能适用加法法则，比如规定红桃牌的牌面是2的倍数或是3的倍数能得分， 否则不能得分，那得能得分的牌一共有几张？

• 2的倍数有：2、4、6、8、K（12）
• 3的倍数有：3、6、9、K（12）
• 即是2的倍数，又是3的倍数有：6、12

这里不能用加法法则，要去掉重复的：\(6 + 4 - 2 = 8\)

\[ | A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B | \]

乘法法则

扑克牌有4种花色，每种花色又都有13张，这里就适用「乘法法则」：

• 集合\(A = \{ \spadesuit , \heartsuit , \diamondsuit , \clubsuit \}\)
• 集合\(B = \{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K \}\)

\[ | A \times B | = | A | \times | B | \]

• 丢三个六面骰子可能有几种结果？ 每个骰子有6面，一共三个骰子，乘法法则：\(6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 255\)
• 32个灯泡排成一列，有多少种亮灭模式？ \(2^{32} = 6,294,967,296\)

排列与组合

置换

将\(n\)个对象按顺序进行排列称为「置换」（substitution）。

• 三张扑克J、Q、K有几种排列法？\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
• 52张（不包括王牌）摆一列有多少种摆法？\(52! = 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000\)

排列

「排列」（permutation） 如果从总共有\(n\)个元素的集合中随机抽出\(k\)个进行排列，记为\(P^k_n\)：

\[ \begin{split} P^5_5 &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 &= 120 \\ P^4_5 &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 &= 120 \\ P^3_5 &= 5 \times 4 \times 3 &= 60 \\ P^2_5 &= 5 \times 4 &= 20 \\ P^1_5 &= 5 &= 5 \end{split} \]

公式可以用阶乘来表示：

\[ \begin{equation} \label{pmpeqm} \begin{split} P^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} \end{split} \end{equation} \]

如果看不明白上面的公式，其实就是通过约分来表示的：

\[ \begin{split} P^3_5 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \end{split} \]

组合

「组合」（combination）不用考虑顺序，如果从总共有\(n\)个元素的集合中随机抽出\(k\) 个进行组合，记为\(C^k_n\)：

\[ \begin{equation} \label{cbpeqm} C^k_n=\frac{P^k_n}{P^k_k}=\frac{n!}{(n-k)!k!} \end{equation} \] \[ \begin{split} C^5_5 &= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} &= 1 \\ C^4_5 &= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} &= 50 \\ C^3_5 &= \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} &= 10 \\ C^2_5 &= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} &= 10 \\ C^1_5 &= \frac{5}{1} &= 5 \\ C^0_5 &= \frac{1}{1} &= 1 \end{split} \]

置换、排列、组合的关系

置换与组合相结合就是排列：

\[ \begin{equation} \label{stdwdo} \begin{split} C^3_5 &= \frac{P^3_5}{P^3_3} \\ P^k_n &= P^k_k \times C^k_n \end{split} \end{equation} \]

综合应用

重复组合

A、B、C三种药片，共取100片，每种药至少有一片，有多少种组合？

想像成100个元素排一列，中间有两个隔板分成三份：

A		B		C
o	...	o	...	o	...

• 100个格子（\(n=100\)），有99个（\(n-1\)）放隔板的位置
• 分成3分（\(k=3\)），需要放2个隔板（\(k-1\)）

公式为：

\[ \begin{equation} \label{cbdop} C^{k-1}_{n-1}= C^{3-1}_{100-1} = C^{2}_{99} = \frac{99 \times 98}{2 \times 1} = 4851 \end{equation} \]

排列组合加容斥

5张扑克：J、Q、K加大小王排成一列，左右两端至少有一端是王（大小王都可以） 的排法有多少种？

设大小王分别为\(x_1\)与\(x_2\)：

• 左边是王牌：（大小王两种可能），其他4张自由排列，\(R_1 = 2 \times P^4_4 = 2 \times 4! = 48\)
• 右边是王牌：同样是\(R_2 = 48\)
• 两端都是王：两头就是\(R_3=P^2_2\)，其他3张是\(P^3_3\)，结果是 \(R_4 = P^2_2 \times P^3_3 = 2! \times 3! = 12\)

所以最后的结果就是：

\[ \begin{equation} \label{cbdoq} \frac{R_1 + R_2 + R_4}{R_3} = \frac{48+48-12}{2}= 42 \end{equation} \]

另一种思路就是把所有的排法中，去掉两头都不是王版的排法：

• 所有的排法：\(R_1 = \frac{P^5_5}{2}=\frac{5!}{2}=60\)
• 两头都不是王：\(R_2 = \frac{P^2_3 \times P^3_3}{2}=\frac{(3 \times 2) \times (3 \times 2 \times 1)}{2}= 18\)

得到：

\[ R_1 - R_2 = 60 - 18 = 42 \]

概率基础

• 事件\(A\)发生的概率记为\(P(A)\)
• 任何事件从不可能发生到必然发生，取值范围为\(P(A) \in [0, 1]\)

在确定的条件\(S\)限定下：

• 确定事件：
  • 必然事件
  • 不可能事件
• 随机事件

事件的关系

• 包含：发生事件\(A\)必然会导致\(B\)发生。记作：\(A \subseteq B\)或（\(B \supseteq A\)）
• 相等：发生事件\(A\)必然会导致\(B\)发生，发生事件\(B\)必然会导致\(A\)发生。 \(A \subseteq B\)并且\(B \subseteq A\)，记作：\(A = B\)
• 并（和）事件：有一个就可以。记作：\(A \cup B\)或（\(A + B\)）。
• 交（集）事件：全部都要有。记作：\(A \cap B\)或（\(A \cdot B\)）。
• 互斥事件：不可能同时发生，即：\(A \cap B = \phi\)
• 对立事件：\(A\)与\(B\)为互斥事件，而且\(A \cup B\)必然发生。
• 相互独立事件：\(A\)与\(B\)是否发生没有影响。

概率的性质

• 对于互斥事件\(A\)与\(B\)，存在：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
• 对于对立事件\(A\)与\(B\)，存在：\(P(A)=1-P(B)\)
• 对于独立事件\(A\)与\(B\)，则二者同时发生的概率为： \(P(A \cap B) = P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)\)

随机事件

大量试验、统计频率，总结规律。

概率决定频率的存在，通过频率来估计概率。

抽样

• 抽签法，（适用于总量与样本都比较少的情况）。
• 随机数表法，（适用于总量与样本都比较少的情况）。
• 系统抽样（适用于量大）。
• 分层抽样（适用于量大）。

简单随机抽样

整体的数量为有限的\(N\)，样本数量为\(n\)，逐个抽取，样本不放回， 每个样本被抽到的机会均等。

常用方法：

系统抽样（又名等距抽样）

总数为\(N\)，需要\(n\)个样本，就分为\(n\)个段，那么\(frac{N}{n}=k\)作为每一段的长度。 如果不能整除就随机去掉几个让它能整除。

在\([1,n]\)中随机取一个值\(l\)，样本就是\(l, l+k, l+2k, \cdots l+nk\)

分层抽样

按总体的不同类型元素占据的比例进行抽样。

用样本的频率分布估计总体分布

• 样本频率分布表。
• 样本频率分布条形图。
• 样本频率分布直方图。
• 频率分布折线图与总体密度曲线。
• 茎叶图。

样本频率分布直方图绘制步骤：

1. 求极差（\(Max - Min\)）
2. 决定组距与组数
3. 把数据分组
4. 列频繁分布表
5. 画出直方图

用样本的数字特征估计总体的数字特征

• 众数：出现次数最多的数，不受极端个例影响。
• 中位数：总数为奇数时是中间的数，总数为偶数时是中间两个数的平均值。 不受极端个例影响。
• 平均数\(\bar{x}\)：记为描写所有数据的平均水平，是数据的重心。

方差与标准差

标准差范围\([0, +\infty]\)。标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越集中。 为\(0\)时表示所有的数据都一样。

方差\(S^2\)：

\[ S^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \cdots (x_n-\bar{x})^2}{n} \]

标准差\(S\)

\[ S = \sqrt{S^2} \] \[ \] \[ \] \[ \] \[ \] \[ \]